Operations

Union(H₁, H₂)

Union(H₁, H₂)
$\;\;\;\;\;$H = new heap containing trees of H₁ and H₂ merged in
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$non-decreasing order by degree of root
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$; Similar to Merge used in MergeSort
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$; O(lg n): at most two roots of each degree,
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$; $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$O(lg n) possible degrees
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$; No more than 2 B_i trees in H at this point
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$; Could be 3 after linking two B_i-1 trees together
$\;\;\;\;\;$prev-x = NIL $\;\;\;\;\;$; three-tree window
$\;\;\;\;\;$x = head(H) $\;\;\;\;\;$; look for:

$\;\;\;\;\;$next-x = sibling(x)
$\;\;\;\;\;$while next-x $\neq$ NIL
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$if degree(x) $\neq$ degree(next-x) or
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$degree(x) = degree(next-x) = degree(sibling(next-x))
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$then move window right by one
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$else if key(x) $\leq$ key(next-x)
$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$then:

$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$else:

$\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;$advance window

Running time = O(lg n) if n = n₁ + n₂ nodes in H.